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① (1)放物線C1 y=ax^2+bをx座標にa平行移動した時の放物線をC2とする。 この時のC1とC2との交点は(1,1)であった。 (a,b)を求めよ。 (2)x^2+y^2=1の時 (x-y)(1+4xy)が最大となる時のx+yの値を求めよ。 (3)2009をn進数で表すとき1桁目と2桁目がともに0である時のnの値を全て求めよ。(nは2以上の自然数) (4)1/2^2の確率で4個,1/3^2の確率で9個,…1/n^2の確率でn^2個,それ以外は1個ふる。 あるnについての出る目の和の期待値をP(n)とする。 この時lim(n→∞)(P(n+2)-P(n-2))/(P(n+1)-P(n-1))を求めよ。 (5)x^nをx^2+x+1で割ったときの余りをR(x)とする。R(x)の多項式の係数が全部同じ値である時の係数を全て求めよ。 ② a y=-x+3,b y=0,c x=0上に点A,B,Cを△ABCが正三角形となるようにとる。 点Aを0＜x＜3の範囲で動かした時の△ABCの重心Gの軌跡を求めよ。 ③ A_1=1,A_(n+1)+A_(n+1)^2*A_n+A_(n+1)*A_n^2=A_nが任意のnについて満たす数列{A_n} について以下の問いに答えよ。ただしA_n 0である。 (1)A_3の値を求めよ。 (2)S_n=Σ[k=1,n]A_kの値を求めよ。 (3)A_n＞1/√(an-1)を全ての自然数nで満たすためのaの最小値を求めよ。 ④ xy座標上に点O(0,0)と点A(1,0)と点P(cosθ,sinθ)をとる。(0 θ 180°) △OAPの内接円の中心をI(X,Y)とする。 (1)X^2+Y^2=r^2を満たすrが有理数。⇔tan(θ/n)が有理数。 これを満たすための自然数nの値を求めよ。 (2)Yの値が最大となる時のXの値を求めよ。 ⑤ A_(n+2)=4(A_n-A_(n-2)) (A_1=1,A_2=2,A_3=2,A_4=4)をn≧3について満たす数列{A_n}について (1)S_2n=Σ[k=1,2n]A_kを求めよ。 (2)(α)S_2nが平方数であるような自然数nを全て求めよ。 (β)S_2nが立方数(ある自然数を3乗してあらわせる数)であるような自然数nを全て求めよ。 (3)S_2nがk乗数(kは5以上の自然数)で表されるようなnが存在しないことを証明せよ。
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△ABCのベクトルによる重心座標表現の公式 2009.02.01(日) △ABCに対して、その傍接円は３つできる。その「傍接円」の中心を「傍心」という。 したがって 「傍心」は３つある。△ABCの3辺を BC=a,CA=b, AB＝c とおく。 E^mでm次元ユークリッド空間を表すものとし、(→PB)で「ベクトルPB」を表すものとする。 1. 「傍接円の定義」 平面上に辺BCを底辺にとり、頂点Aが上方にくるように△ABCを書いておく。辺ABの頂点Bの方への延長線上に点D、 辺ACの頂点Cの方への延長線上に点Eをとる。すると ∠B=∠ABCと∠C=∠ACBの「外角」はそれぞれ∠CBDと∠BCEになる。さて辺BCよりも下方で直線ABDよりも右かつ 直線ACEよりも左の△ABCの外部の「領域」を考える。この「領域内」において、辺BC及び直線ABDに接し、 かつ直線ACEに接する一つの円が△ABCの外部にできる。これを△ABCの『辺BCに「傍接」する「傍接円」』と よぶことにする。この様な傍接円は辺BCに対してはただ１つ存在する。 その中心をE_Aで表し,「傍心E_A」という。またその円を「傍接円E_A」とよぶことにする。同様にして 『辺CAに「傍接」する「傍接円E_B」』，『辺ABに「傍接」する「傍接円E_C」』ができる。 この様に三角形に対しては「傍接円」は３つできる。 2. ※※※※※ 「傍接円E_A」の中心「傍心E_A」の求め方：※※※※※※※※※※※※※※※※ 「傍接円E_A」は辺BCと直線ABDに接するのであるから、その中心E_Aは∠B=∠ABCの外角∠CBDの 二等分線m上にあり、∠C=∠ACBの外角∠BCEの二等分線n上にもある。この交点が「傍心E_A」になる。 さらに辺BCの下方へ、∠A=∠BACの二等分線lを引いてみるとlはこの点E_Aを通るのである。 つまり、２つの外角と1つの内角の3本の二等分線l，m,nは1点で交わり、 その交点が「傍心E_A」である。 (これが普通のE_Aの求めかたである。) 3. [命題1.1] △ABCに対して3辺の長さを BC=a,CA=b, AB＝c とおく。 そのとき、「傍心E_A」の「ベクトルによる重心座標表現」は次のようになる。 △ABC⊆E^2⊆E^mとし、任意の点P∈E^m (m≧2)にたいして、 (→PE_A)={−a(→PA)＋b(→PB)＋c(→PC)}/(−a+b＋c) ・・・(1.1.1) (−a+b＋c)/(−a+b＋c)＝1だから、 これは確かに△ABCに関する「ベクトルによる重心座標表現」である。 なお、b＋c a に注意されたい。 4. この[命題1.1]を証明するために準備をする。 [補題1.2] △ABCにたいして BC=a ，AC=b とおく また ∠BAC＝A，∠ABC＝B と書くことにする。 このとき、よく知られているように a b ⇔ A B a= b ⇔ A=B a b ⇔ A B ・・・（1.2) [補題1.3] △ABCにおいて a b (つまり BC AC)とする。点D,Eは上記1.のようにとる。二等分線nも同じく 外角∠BCEの二等分線とする。 このとき外角∠BCEの二等分線nと直線ABとは交わる。 「証明」 外角∠BCEの二等分線n上 かつ、辺BCの下方に点Fをとる。 ∠CBD＋∠BCF 180度 ・・・(1.3.1) を示せば, 直線ABと直線nとは1点で交わる。 そこで (1.3.1)を示そう。 まず ∠CBD＝180度−B ・・・(1.3.2) ,∠BCE＝A＋B よって∠BCF＝(∠BCE)/2＝(A＋B)/2 ・・・(1.3.3) また a bだから[補題1.2]を使うと A B 180度 よって 0 B− A 180度 ⇒0度 (B−A)/2 90度 ・・・(1.3.4) そこで (1.3.2),(1.3.3)より ∠CBD＋∠BCF=(180度−B)＋(A＋B)/2=180度−(B−A)/2 (1.3.4)から 0度 180度−(B−A)/2 180度 よって ∠CBD＋∠BCF=180度−(B−A)/2 180度 となり ∠CBD＋∠BCF 180度 となって (1.3.1)が示された。 （[補題1.3]の「証明」終わり） [補題1.4] △ABCにおいて a=b のとき、∠BCEの二等分線nは直線ABと平行である。 「証明」 a=b ⇔ A＝B から ∠BCE=A＋B＝2A よって ∠BDF=(∠BCE)/2＝A (点Fは[補題1.3]と同じようにとる） 一方 ∠ABC=B=A ゆえに 二直線AB，nに関して錯角の∠ABCと∠BCFとが等しいので平行である。 （[補題1.4]の「証明」終わり） 5. 次に ※※※※※※重要な[命題1.5]を述べる。※※※※※※※※※※ [命題1.5] △ABCにおいて a b (つまり BC AC)とする。点D,Eは上記1.のようにとる。二等分線nも同じく 外角∠BCEの二等分線とする。[補題1.3]より外角∠BCEの二等分線nと直線ABとは交わる。 この交点をF_Aとおく。F_Aは辺ABのBの方の延長線上にある。 ⇒ F_Aは辺ABをb aの比に【外分】する点になる。 A(F_A)：B(F_A)＝b：a すなわち 点 F_Aは辺ABをb (−a)の比に【分ける点】である。・・・(1.5.1) 【証明」 頂点Bから直線C(F_A) つまり nに平行線を引き、その交点をJとする。 BJ 平行 直線ACとなるから∠BJC＝∠JCE（錯角が等しい）・・・(1.5.2) ゆえに∠BCJ＝∠JCE (何故ならCJすなわちnは∠BCEの二等分線だから）・・・(1.5.3) よって(1.5.2),(1.5.3)から△BCJにおいて∠BJC＝∠BCJ（△BCJは二等辺三角形）⇒ BJ=BC=a ・・・(1.5.4) そこでBFとACが平行より △(F_A)BJ∽△(F_A)AC よって(1.5.4)から A(F_A)：B(F_A)＝AC：BJ＝AC：BC＝ｂ a となる。 （[命題1.5]の「証明」終わり） 6. ※※※※※※※それでは[命題1.1]の「証明」に入る※※※※※※※※※ [命題1.6] △ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b とし、（ア）b c または （イ）b=c とする。 『辺BCに「傍接」する「傍接円」』の「傍心」を「E_A」とする。 このとき、（ア）（イ)どちらでも、 (→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋C) ・・・(1.6.1) 「証明」 （ア) a b の場合、[補題1.3]から外角∠BCEの二等分線nと直線ABとの交点がある。それをF_Aとする。 [命題1.5]から 点F_Aは辺ABをb (−a)の比に【分ける点】である。 よって 頂点Cを始点としたベクトルを考えて (→CF_A)＝[(−a)(→CA)＋b(→CB)]/{b＋(−a)} ・・・(1.6.2) 「傍心E_A」は直線C(F_A)上にあるから (→CE_A)＝λ(→CF_A) ・・・(1.6.3)となる実数λがある。 (1.6.2),(1.6.3)から (→AE_A)−(→AC)＝λ[(−a)(→CA)＋b{(→AB)−(→AC)}]/{b＋(−a)} ＝(bλ)/(b−a)(→AB)＋{(a−b)λ/(b−a)}(→AC) ＝(bλ)/(b−a)(→AB)−λ(→AC) ゆえに (→AE_A)＝(bλ)/(b−a)(→AB)＋(1−λ)(→AC) ・・・(1.6.4) 一方 A(E_A)は∠BACの二等分線lであるから 直線A(E_A)と辺BCとの交点をKとすれば、BK：KC＝c bより (→AE_A)＝μ[b(→AB)＋c(→AC)]/(b＋c) ・・・(1.6.5) となる実数μがある。 (→AB)，(→AC)は一次独立だから(1.6.4),(1.6.5)より (bμ)/(b＋c)=(bλ)/(b−a) ・・・(1.6.6) かつ (cμ)/(b＋c)=1−λ ・・・(1.6.7) このλ，μの連立方程式を解く。 (1.6.6) ⇔ λ＝μ(b−a)/(b＋c) ・・・(1.6.8) これを(1.6.7)に代入して (cμ)/(b＋c)＝{(b＋c−(b−a)μ}/(b＋c) ⇔ cμ＝b＋c−(b−a)μ ⇔ (b＋c−a)μ＝b＋c ⇒ μ＝(b＋c)/(b＋c−a) ・・・(1.6.9) (1.6.9)を(1.6.5)に代入して (→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) となる。 （イ) a＝bのときC(E_A)平行AB (→CE_A)＝λ(→AB) ・・・(1.6.10) また (→AE_A)＝μ[b(→AB)＋c(→AC)]/(b＋c) ・・・(1.6.5)となる実数λ,μがある。 (1.6.10)⇔ (→AE_A)＝λ(→AB)＋1(→AC) ・・・(1.6.11) (→AB)，(→AC)は一次独立だから(1.6.5),(1.6.11)より (bμ)/(b＋c)=λ ・・・(1.6.12) かつ (cμ)/(b＋c)=1 ・・・(1.6.13) (1.6.13) ⇔ μ＝(b＋c)/c ・・・(1.6.14) a＝b ⇒ b＋c−a=c よって (1.6.14) ⇔ μ＝(b＋c)/(b＋c−a) ・・・(1.6.15) (1.6.15)を(1.6.5)に代入して (→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) となる。 （[命題1.6]の「証明」終わり） ◎同様にして [命題1.7] △ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b とし、（ウ）b c とする。 『辺BCに「傍接」する「傍接円」』の「傍心」を「E_A」とする。 このとき、 (→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) ・・・(1.7.1) ※※※※※※※以上の[命題1.6] [命題1.7]より目標の[命題1.1]]が証明される※※※※※※※※※ [命題1.1]]の「証明」 △ABCにおいて 辺BC=a ,CA=b としたとき、 その【傍心E_A】について (→AE_A)＝[b(→AB)＋c(→AC)]/(−a＋b＋c) ・・・(1.1.2) よって (→PE_A)−(→PA)＝[b(→PB)−b(→PA)＋c(→PC)−c(→PA)]/(−a＋b＋c) ⇔ (→PE_A)＝{(−a＋b＋c)−(b＋c)}(→PA)/(−a＋b＋c)＋{b(→PB)＋c(→PC)}/(−a＋b＋c) ＝{−a(→PA)＋b(→PB)＋c(→PC)}/(−a＋b＋c) となって証明された。 （[命題1.1]]の「証明」終わり）
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地球を８０００万個に分割してみた - 重心と質点の話 本文はこのリンクです。 http //blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/7b2e4afa85f1fdf5df60ced709fdd8da
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キャラクター 名簿順 忍術学園 生徒一年生 二年生 三年生 四年生 五年生 六年生 くの一 忍術学園 教職員 忍術学園 関係者 ドクタケ城 タソガレドキ城 兵庫水軍 その他 忍術学園 生徒 一年生 猪名寺乱太郎 ☆５ パー 手裏剣 直線/中距離 ☆３ パー 手裏剣 直線/中距離 ☆２ グー 手裏剣 直線/中距離 ☆２ チョキ 手裏剣 直線/中距離 ☆２ パー 手裏剣 直線/中距離 ☆１ グー 手裏剣 直線/中距離 摂津のきり丸 ☆５ チョキ くない 近距離 ☆３ チョキ くない 近距離 ☆２ グー くない 近距離 ☆２ チョキ くない 近距離 ☆１ グー 手裏剣 直線/近距離 福富しんべヱ ☆３ グー 手裏剣 放物線/近距離 ☆２ グー 手裏剣 放物線/近距離 ☆２ パー 手裏剣 放物線/近距離 ☆１ チョキ 手裏剣 放物線/近距離 黒門伝七 ☆２ グー 手裏剣 直線/近距離 ☆２ チョキ 手裏剣 直線/近距離 ☆１ チョキ 手裏剣 直線/近距離 任暁佐吉 ☆３ チョキ 手裏剣 放物線/中距離 ☆２ グー 手裏剣 放物線/中距離 ☆１ グー 手裏剣 放物線/中距離 鶴町伏木蔵 ☆４ パー 手裏剣 放物線/遠距離 ☆２ パー 手裏剣 放物線/遠距離 ☆１ パー 手裏剣 放物線/遠距離 下坂部平太 ☆４ グー 手裏剣 直線/遠距離 ☆２ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 ☆１ グー 手裏剣 直線/遠距離 山村喜三太 ☆３ グー 手裏剣 放物線/遠距離 ☆２ パー 手裏剣 放物線/遠距離 黒木庄左ヱ門 ☆３ チョキ 手裏剣 直線/中距離 夢前三治郎 ☆４ チョキ 手裏剣 放物線/遠距離 笹山兵太夫 ☆４ パー くない 近距離 加藤団蔵 ☆４ くない 近距離 二年生 川西左近 ☆３ グー 手裏剣 直線/遠距離 ☆２ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 ☆１ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 池田三郎次 ☆３ グー 火縄銃 直線/貫通/中距離 ☆１ チョキ 火縄銃 直線/貫通/中距離 三年生 伊賀崎孫兵 ☆３ チョキ 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆３ パー 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆２ グー 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆１ パー 火縄銃 直線/貫通/遠距離 富松作兵衛 ☆４ パー 火縄銃 直線/貫通/近距離 ☆３ チョキ 火縄銃 直線/貫通/近距離 ☆２ グー 火縄銃 直線/貫通/近距離 ☆１ グー 火縄銃 直線/貫通/近距離 三反田数馬 ☆３ チョキ 手裏剣 放物線/遠距離 浦風藤内 ☆４ パー 手裏剣 放物線/中距離 次屋三之助 神崎左門 ☆４ グー 手裏剣 直線/中距離 四年生 平滝夜叉丸 ☆３ グー 手裏剣 直線/中距離 ☆３ パー 手裏剣 直線/中距離 ☆２ パー 手裏剣 直線/中距離 綾部喜八郎 ☆５ チョキ 踏鋤 近距離 ☆３ パー くない 近距離 斉藤タカ丸 ☆４ グー 手裏剣 放物線/遠距離 五年生 久々知兵助 ☆５ チョキ 寸鉄 近距離 ☆４ チョキ 火縄銃 直線/貫通/中距離 竹谷八左ヱ門 ☆４ グー 刀 近距離 ☆３ グー 刀 近距離 ☆３ パー 刀 近距離 ☆２ パー 刀 近距離 不破雷蔵 ☆４ グー 手裏剣 直線/遠距離 鉢屋三郎 ☆４ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 尾浜勘右衛門 ☆５ パー 万力鎖 近距離 六年生 善法寺伊作 ☆５ パー くない 近距離 ☆３ パー くない 近距離 立花仙蔵 ☆４ パー ほうろく火矢 放物線/中距離 ☆３ グー ほうろく火矢 放物線/中距離 ☆２ パー 手裏剣 直線/遠距離 ☆１ パー 手裏剣 直線/遠距離 七松小平太 ☆５ グー くない 近距離 食満留三郎 ☆５ パー 鉄双節棍 近距離 中在家長次 ☆４ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 潮江文次郎 ☆５ 袋槍 くの一 シゲ ☆２ グー 手裏剣 放物線/近距離 ☆１ パー 手裏剣 放物線/近距離 トモミ ☆２ チョキ 手裏剣 直線/近距離 ☆２ パー 手裏剣 直線/近距離 ☆１ チョキ 手裏剣 直線/近距離 ユキ ☆２ チョキ 手裏剣 直線/遠距離 ☆１ グー 手裏剣 直線/遠距離 忍術学園 教職員 土井半助 ☆５ グー 手裏剣 直線/中距離 ☆３ パー 手裏剣 直線/中距離 ☆２ グー 手裏剣 直線/遠距離 ☆１ パー 手裏剣 直線/遠距離 山田伝蔵 ☆５ グー 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆４ グー 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆３ チョキ 火縄銃 直線/貫通/遠距離 ☆２ チョキ 火縄銃 直線/貫通/遠距離 山本シナ ☆３ チョキ 火縄銃 直線/貫通/中距離 忍術学園 関係者 ドクタケ城 しぶ鬼 ☆３ チョキ 手裏剣 放物線/中距離 ☆１ チョキ 手裏剣 放物線/中距離 ☆１ パー 手裏剣 放物線/中距離 ふぶ鬼 ☆２ パー 手裏剣 放物線/遠距離 ☆１ チョキ 手裏剣 放物線/遠距離 ☆１ パー 手裏剣 放物線/遠距離 タソガレドキ城 雑渡昆奈門 ☆４ パー くない 近距離 兵庫水軍 義丸 ☆３ パー 刀 近距離 鬼蜘蛛丸 ☆３ パー 刀 近距離 ☆２ パー 刀 近距離 その他 山田利吉
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四面体の外心の重心座標表現の具体例(一般的な場合)例2 6辺の長さを具体的に与えて、一般的と思える「四面体ABCD」の第２の例を構成して、 その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を求める。 「例2」「垂心四面体でないもので、6辺の長さがみな異なるものを造る」 四面体ABCDの6辺の長さを例によって BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，BD＝e ，CD＝f で表す。 そこで a＝BC＝√2 ， b＝CA＝√3 ，c＝AB＝2， d＝AD＝√6 ，e＝BD＝2√2 ，f＝CD＝√5 ・・・(1.1.1) とおく。 まず a2＋d2＝2＋6＝8 ，b2＋e2＝3＋8＝11 ，c＋f2＝4＋5＝9 ・・・(1.1.2) である。 よって a2＋d2，b2＋e2，c2＋f2は全て異なるので、 これで「四面体ABCD」ができたとき、どの「対辺同士」も 垂直ではない例となる。 (1) △ABCはできるか？ BC＝√2 ，CA＝√3 ， AB＝2 ， √2＜√3＜2で、 √2＋√3＞2 であって、(√2)2＋(√3)2＞22 であるから △ABCはできて、鋭角三角形である。 (2) △ABDはできるか？ AB＝2 ，AD＝√6，BD＝2√2 ， 2＜√6＜2√2で、 2＋√6＞2√2 であって、22＋(√6)2＞(2√2)2 であるから △ABDはできて、鋭角三角形である。 (3) △ACDはできるか？ AC＝√3，CD＝√5 ，AD＝√6 ， √3＜√5＜√6で、 √3＋√5＞√6 であって、(√3)2＋(√5)2＞(√6)2 であるから △ACDはできて、鋭角三角形である。 (4) △BCDはできるか？ BC＝√2，BD＝2√2，CD＝√5 ， √2＜√5＜2√2で、 √2＋√5＞2√2 であるが、 (√2)2＋(√5)2＜(2√2)2 であるから △BCDはできて、これだけ鈍角三角形である。 こうして3つの三角形は鋭角三角形で，△BCDだけ∠BADが鈍角の鈍角三角形になる。 (５) 四面体ABCDの「外心Ｏの重心座標表現」は次のようであった。 4K＝a2d2(e2＋f2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2) ＋c2f2(a2＋e2―f2)―2(aef)2 ・・・(5.1.1) 4L＝a2d2(b2＋f2―d2)＋b2e2(f2＋d2ーb2) ＋c2f^(d2＋b2―f2)―2(dbf)2 ・・・(5.1.2) 4M＝a2d2(e2＋c2―d2)＋b2e2(c2＋d2―e2) ＋c2f2(d2＋e2―c2)―2(dec)2 ・・・(5.1.3) 4N＝a2d2(b2＋c2―a2)＋b2e2(c2＋a2―b2) ＋c2f2(a2＋b2―c2)―2(abc)2 ・・・(5.1.4) として (→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)] ＝{1/8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(5.1.5) (5.1.5)は「ベクトルによる重心座標表現」だから、 4K＋4L＋4M＋4N＝8detJ(3) ・・・(5.1.6)が成り立っている筈。 4K，4L，4M，4Nを(5.1.1)〜(5.1.4)にて求めれば、detJ(3)＝(6V)2も求まる筈である。 これらを計算するために、a2d2，b2e2，c2f2及び (aef)2，(dbf)2，(dec)2，(abc)2 をまず求めよう。 a2d2＝(√2)2(√6)2＝12 ，b2e2＝(√3)2(2√2)2＝24 c2f2＝22)(√5)2＝20 ，(aef)2＝(√2×2√2√5)2＝80， (dbf)2＝(√6√3√5)2＝90 ，(dec)2＝(√6×2√2×2)2＝192 ， (abc)2＝(√2√3×2)2＝24 ・・・(5.1.7) よって (5.1.1)は 4K＝12×(8＋5―2)＋24×(5＋2―8)＋20×(2＋8―5)―2×80 ＝12×11＋24×(―1)＋20×5―2×80＝4×(33―6＋25―40)＝4×12＝48 よって K＝12 ・・・(5.1.8) また(5.1.2)は 4L＝12×(3＋5―6)＋24×(5＋6―3)＋20×(6＋3―5)―2×90 ＝4×(6＋6×8＋5×4―3×15)＝4×29＝116 よって L＝29 ・・・(5.1.9) (5.1.3)は 4M＝12×(8＋4―6)＋24×(4＋6―8)＋20×(6＋8―4)―2×192 ＝4×(18＋12＋50―96)＝4×(―16)＝―64 よって M＝―16 ・・・(5.1.10) (5.1.4)は 4N＝12×(3＋4―2)＋24×(4＋2―3)＋20×(2＋3―4)―2×24 ＝4×(15＋18＋5―12)＝4×26＝104 よって N＝26 ・・・(5.1.11) これらを加えると K＋L＋M＋N＝12＋29＋(―16)＋26＝51 ・・・(5.1.12) よって (5.1.6)から 2detJ(3)＝51 ⇒4detJ(3)＝102 ・・・(5.1.13)となるはずである。 そこで 4detJ(3)を計算しよう。 4detJ(3)を6辺で計算する式は、次の(6) の(6.1.1) のように与えられる。 (6) (1.1.2)と(5.1.7)から 4detJ(3)＝(6V)^2＝a2d2(b2＋e2＋c2＋f2―a2―d2) ＋b2e2(c2＋f2＋a2＋d2―b2―e2) ＋c2f2(a2―d2＋b2＋e2―c2―f2) ー{(aef)2＋(dbf)2＋(dec)2＋(abc)2} ・・・(6.1.1) ＝12×(11＋9―8)＋24×(9＋8―11)＋20×(8＋11―9) ―(80＋90＋192＋24) ＝4×(36＋36＋50)―386＝488―386＝102 ・・・(6.1.2) となって(5.1.13)と一致する。計算に間違いはないようである。 detJ(3) 0 だから (→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立となり、 「四面体ABCD」ができた。 (7) それでは、この四面体ABCDの「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を書き下そう。 (5.1.8)〜(5.1.11)及び(5.1.13)より、 mを3以上の自然数、四面体ABCD⊂E^3⊂E^mとし、任意の点P∈E^mをとったとき、 (→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)] ＝(1/51)[12(→PA)＋29(→PB)―16(→PC)＋26(→PD)] ・・・(7.1.1) すなわち (→PＯ)＝(1/51)[12(→PA)＋29(→PB)―16(→PC)＋26(→PD)] ・・・(7.1.2) である。 ここで(→PC)の係数だけ「―」ということから、この「四面体ABCD」の 「外心Ｏ」は、四面体ABCDの外部にあり、△ABDを含む平面に対して頂点Aと反対側の領域にある。 (8) この「四面体ABCD」の２次元の外接球面の半径 R(３)を求めてみよう。 公式を使うと簡単に求まる。公式は次のようであった。 R(３)2＝{1/16detJ(3)}(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cｆ―ad)(cf＋ad―be) ・・・(8.1.1) よって R(３)^2＝{1/(8×51)}(√2×√6＋√3×2√2＋2√5)(√2×√6＋√3×2√2―2√5) ×(√3×2√2＋2√5―√2×√6)(2√5＋√2×√6―√3×2√2) ＝{1/(8×51)}{(2√3＋2√6)2―(2√5)2}{{(2√5)2―(2√6―2√3)2} ＝{1/(8×51)}×(√3＋√6)2―(√5)2}{{(√5)2―(√6―√3)2} ＝{1/(8×51)}(4×4){3＋6√2＋6―5}{5―6＋6√2―3} ＝{1/(8×51)}×(4×4×4)(3√2＋2)(3√2―2)＝{1/(51)}×8×(3√2＋2)(3√2―2) ＝(1/51)}×(8×14)}＝(16×7)/51 ・・・(8.1.2) すなわち R(３)2＝(16×7)/51 よって R(３)＝(4√7)/(√51) ・・・(8.1.3) (9) 以上、二つ目の「垂心四面体ではなくて、かつ6辺の長さがみな異なり、3つの面が鋭角三角形、 △BCDだけが∠BADが鈍角の鈍角三角形の「四面体ABCDの例」を造ってみた。そして その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」と「外接球面」の半径R(3)を求めた。 4detJ(3)の計算については、「外心Ｏ」についての 4K，4L，4M，4Nの計算に 間違いがなければ、8detJ(３)=4K＋4L＋4M＋4N から 4detJ(３)＝(1/2)(4K＋4L＋4M＋4N) として求まる。よって、 「 U＝4K＋4L＋4M＋4N ・・・(9.1.1)」とおけば、detJ(3)＝(6V)2だから、 「四面体ABCDの体積Vは V＝(1/6)√(U/8) ・・・(9.1.2) 」 として求まるわけである。 それで、「外心Ｏ」を求めるときなどは 4detJ(３)の公式は検算用として使用すればよくなる。 ただ、今の段階では、「外心Ｏ」の 4K ，4Ｌ ，4M ，4N の公式が 覚えるのが難しいが、実はこれらを簡単に表す方法は前に述べたように、完成している。 それの「発表が終わり次第」、発表しようと思っている。
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aを実数とする． (1) 曲線と放物線の両方に接する直線がx軸以外に2本あるようなaの範囲を求めよ． (2) aが(1)の範囲にあるとき，この2本の接線と放物線で囲まれた部分の面積Sをaを用いて表せ． (1) の接点のx座標をtとおくと，接線の方程式は． これとを連立させて． ． これが重解を持つ条件は ． 所与の2曲線はx軸以外に2本の共通接線をもつので，これはt=0以外の相異なる実数解をもつ． t=0でない解はであるから，,． (2) 放物線の接点のx座標をsとおくと，接線の傾きを考えて. よって放物線の2接点のx座標をp,q(p q)とおくと. また，放物線の式から接線の式を引くと,となるので，求める面積は .
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NO.2-1 二次関数 ～難易度☆★★★★ 問題 211 ：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2008/11/29(土) 23 22 10.82 ID XJP+DC730 xy平面にy=－x＾2＋6x－14があり、この放物線を①とする。 （1）この放物線の頂点をＣとする。この放物線を原点に関して対象移動したとき、 放物線を②として、その頂点はＡとなった。Ａの座標は（{アイ}、｛ウ｝）である。 （2）②をx軸に関して対称移動した放物線の頂点をＢとして、さらにその放物線 を原点に関して対称移動した放物線の頂点をＤとする。ＡＢＣＤをこの順で結 んで出来る四角形は辺上に格子点（x,yがともに整数の点）を｛エオ｝個含む。 （3）四角形ＡＢＣＤは境界線を含んでグラフＴの領域とする。すなわちＴの変域は ｛カキ｝≦x≦｛ク｝、値域は｛ケコ｝≦y≦{サ}である。 （4）グラフＴをT ＝｜x－1｜＋｜x－2｜とするとき、Ｔの最大値はx＝｛シス｝ のとき｛セ｝であり、最小値は｛ソ｝である。またＴのxが最大のとき、y＝｛タ｝である。 解答 +... (1)(-3,5) (2)32 (3)-3≦x≦3,-5≦y≦5 (4)最大x=-3の時9 最小値は1。(タ)3 解説 (1) y=-(x-3)^2-5よりC(3,-5)これを原点対称した点Ａは(-3,5) (2) Bは(-3,-5)Ｄは(3,5)である。これより、四隅のダブりを考えて7+7+11+11-4=32個 (3) 省略 (4) まず、絶対値外し。x≧2で2x-3,2 x≧1で1,1＞xで-2x+3。これより最小値は1。 xの最大値は、3≧2x-3≧1,1≧-2x+3≧9よりx=-3の時9で最大。 Tのxが最大の時、x=3だからy=3である。
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四面体の外心の重心座標表現の具体例(一般的な場合)例１ ここでは、6辺の長さを具体的に与えて、一般的と思える「四面体ABCD」を構成して、 その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を求める。 「例１」「垂心四面体でないもので、6辺の長さがみな異なるものを造る」 四面体ABCDの6辺の長さを例によって BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，AD＝d ，BD＝e ，CD＝f で表す。 そこで a＝BC＝√2 ， b＝CA＝√3 ，c＝AB＝2， d＝AD＝3 ，e＝BD＝√10 ，f＝CD＝√11 ・・・(1.1.1) とおく。 まず a２＋d2＝2＋9＝11 ，b2＋e2＝3＋10＝13 ，c2＋f2＝4＋11＝15 ・・・(1.1.2) である。 よって a2＋d2，b2＋e2，c2＋f2は全て異なるので、 これで「四面体ABCD」ができたとき、どの「対辺同士」も 垂直ではない例となる。 (1) △ABCはできるか？ BC＝√2 ，CA＝√3 ， AB＝2 √2＜√3＜2で、 √2＋√3＞2 であって、(√2)2＋(√3)2＞22 であるから △ABCはできて、鋭角三角形である。 (2) △ABDはできるか？ AB＝2 ，AD＝3，BD＝√10 2＜3＜√10で、 2＋3＞√10 であって、22＋32＞(√10)2 であるから △ABDはできて、鋭角三角形である。 (3) △ACDはできるか？ AC＝√3，AD＝3 ，CD＝√11 √3＜3＜√11で、 √3＋3＞√11 であって、(√3)2＋32＞(√11)2 であるから △ACDはできて、鋭角三角形である。 (4) △BCDはできるか？ BC＝√2，BD＝√10，CD＝√11 √2＜√10＜√11で、 √2＋√10＞√11 であって (√2)2＋(√10)2＞(√11)2 であるから △BCDはできて、鋭角三角形である。 こうして4つの三角形はみな鋭角三角形になる。 (５) 四面体ABCDの「外心Ｏの重心座標表現」は次のようであった。 4K＝a2d2(f2＋e2―a2)＋b2e2(f2＋a2―e2) ＋c2f2(a2＋e2―f2)―2(aef)2 ・・・(5.1.1) 4L＝a2d2(b2＋f2)＋b2e2(f2＋d2―b2) ＋c2f2(d2＋b2―f2)―2(dbf)2 ・・・(5.1.2) 4M＝a2d2(e2＋c2―d2)＋b2e2(c2＋d2―e2) ＋c2f2(d2＋e2―c2)―2(dec)2 ・・・(5.1.3) 4N＝a2(d2(b2＋c2―a2)＋b2e2(c2＋a2―b2) ＋c2f2(a2＋b2―c2)―2(abc)2 ・・・(5.1.4) として (→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)] ＝1/{8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(5.1.5) (5.1.5)は「ベクトルによる重心座標表現」だから、 4K＋4L＋4M＋4N＝8detJ(3) ・・・(5.1.6)が成り立っている筈。 4K，4L，4M，4Nを(5.1.1)〜(5.1.4)にて求めれば、detJ(3)＝(6V)^2も求まる筈である。 これらを計算するために、a2d2，b2e2，c2f2及び (aef)2，(dbf)2，(dec)2，(abc)2 をまず求めよう。 a2d2＝(√2)232＝18 ，b2e2＝(√3)2)(√10)2＝30 c2f2＝22(√11)2＝44 ，(aef)2＝(√2√10√11)2＝220， (dbf)2＝(3√3√11)2＝297 ，(dec)2＝(3√10×2)2＝360 ， (abc)2＝(√2√3×2)2＝24 ・・・(5.1.7) よって (5.1.1)は 4K＝18×(10＋11―2)＋30×(11＋2―10)＋44×(2＋10―11)―2×220 ＝18×19＋30×3＋44×1―440＝342＋90＋44―440＝476―440＝36 ・・・(5.1.8) また(5.1.2)は 4L＝18×(3＋11―9)＋30×(11＋9―3)＋44×(9＋3―11)―2×297 ＝18×5＋30×17＋44×1―594＝90＋510＋44―594＝644―594＝50 ・・・(5.1.9) (5.1.3)は 4M＝18×(10＋4―9)＋30×(4＋9―10)＋44×(9＋10―4)―2×360 ＝18×5＋30×3＋44×15―720＝90＋90＋660―720＝840―720＝120 ・・・(5.1.10) (5.1.4)は 4N＝18×(3＋4―2)＋30×(4＋2―3)＋44(2＋3―4)―2×24 ＝18×5＋30×3＋44×1＝48＝90＋90＋44―48＝224―48＝176 ・・・(5.1.11) これらを加えると 4K＋4L＋4M＋4N＝36＋50＋120＋176＝382＝2×191 ・・・(5.1.12) よって (5.1.6)から 4detJ(3)＝191 ・・・(5.1.13)となるはずである。 そこで 4detJ(3)を計算しよう。 4detJ(3)を6辺で計算する式は、次の(6) の(6.1.1) のように与えられる。 (6) (1.1.2)と(5.1.7)から 4detJ(3)＝(6V)^2＝a2d2(b2＋e2＋c2＋f2―a2―d2) ＋b2e2(c2＋f2＋a2＋d2―b2―e2) ＋c2f2(a2＋d2＋b2＋e2―c2―f2) ー{(aef)2＋(dbf)2＋(dec)2＋(abc)2} ・・・(6.1.1) ＝18×(13＋15―11)＋30×(15＋11―13)＋44×(11＋13―15) ―(220＋297＋360＋24) ＝18×17＋30×13＋44×9―901＝306＋390＋396―901＝1092―901＝191・・・(6.1.2) となって(5.1.13)と一致する。計算に間違いはないようである。 detJ(3) 0 だから (→AB)，(→AC)，(→AD)は一次独立となり、 「四面体ABCD」ができた。 (7) それでは、この四面体ABCDの「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」を書き下そう。 (5.1.7)〜(5.1.10)より、 mを3以上の自然数、四面体ABCD⊂E^3⊂E^mとし、任意の点P∈E^mをとったとき、 (→PＯ)＝1/{2detJ(3)}[K(→PA)＋L(→PB)＋M(→PC)＋N(→PD)] ＝1/{8detJ(3)}[4K(→PA)＋4L(→PB)＋4M(→PC)＋4N(→PD)] ・・・(7.1.1) ＝1/(2×191)[36(→PA)＋50(→PB)＋120(→PC)＋176(→PD)] ＝1/191[18(→PA)＋25(→PB)＋60(→PC)＋88(→PD)] すなわち (→PＯ)＝1/(191)[18(→PA)＋25(→PB)＋60(→PC)＋88(→PD)] ・・・(7.1.2) である。 (8) この「四面体ABCD」の２次元の外接球面の半径 R(３)を求めてみよう。 （ア）公式を使用せずにやってみる。(→PD)の係数が大きいので、 (7.1.1)式において、P ⇒Dとして、 (→DＯ)＝1/(191)[18(→DA)＋25(→DB)＋60(→DC)] ・・・(8.1.1)となる。 R(３)＝|(→DＯ)|なので 1912R(３)2 ＝(191)2|(→DＯ)|2＝|18(→DA)＋25(→DB)＋60(→DC)|2 ＝182|(→DA)|2＋252|(→DB)|2＋602|(→DC)|2 ＋2×18×25((→DA),(→DB))＋2×18×60((→DA),(→DC))＋2×25×60((→DB),(→DC)) ＝(22)(32)×d2＋(54)(e2)＋(24)(32)(52)f2 ＋2×18×25×(1/2)(d2＋e2―c2) ＋2×18×60×(1/2)(f2＋d2―b2)＋2×25×60×(1/2)(e2＋f2―a2) ＝(22)(34)×(32)＋(54)×10＋(24)(32)×11 ＋18×25×(9＋10―4)＋60×18×(11＋9―3)＋60×25×(10＋11―2) ＝(22)(36)＋2×(55)＋(24)(32)(52)×11 ＋18×25×15＋60×{18×17＋25×19} ＝(22)(32)×{34＋(22)×(52)×11}＋2(5)＋9×2×25×15＋60×(306＋475) ＝4×9(81＋1100)＋2×25×125＋50×9×15＋60×781 ＝4×9×1181＋50×(125＋135)＋4×15×781 ＝4×9×1181＋4×15×781＋4×25×2×65 ＝4×(9×1181＋15×781)＋8×(25×65) ＝4×(10629＋11715)＋8×1625 ＝4×22344＋8×1625＝8×(11172＋1625) ＝8×12797 すなわち 1912R(３)2＝8×12797 ・・・(8.1.2) ところが、12797＝191×67 ・・・(8.1.3)と素因数分解できるのである！ よって (191) 1912R(３)2＝8×191×67 ゆえに R(３)2＝(8×191×67)/(191)2＝(8×67)/191 こうして R(３)2＝(8×67)/(191) R(３)＝2√134/(√191) ・・・(8.1.3)となった。 （イ）公式を使うと簡単に求まる。公式は次のようであった。 R(３)2＝1/{16detJ(3)}(ad＋be＋cf)(ad＋be―cf)(be＋cｆ―ad)(cf＋ad―be) よって R(３)2＝1/(4×191)(√2×3＋√3√10＋2√11)(√2×3＋√3√10―2√11) ×(√3√10＋2√11―√2×3)(2√11＋√2×3―√3√10) ＝1/(4×191){(3√2＋√30)2―(2√11)2}{(2√11)2―(3√2―√30)2} ＝1/(4×191){18＋12√15＋30―44}{44―18＋12√15―30} ＝1/(4×191){12√15＋4}{12√15―4}＝{1/(4×191)}(4×4){3√15＋1}{3√15―1} ＝{1/(4×191)}(4×4){9×15―1}＝{1/(191)}×(4×134)＝(8×67)/191 すなわち R(３)2＝(8×67)/191 よって R(３)＝2√134/(√191) (ア)（イ）を比較したとき、191と67がともに素数であったので、 (ア)の12797＝191×67がなかなか出てこないが、公式(イ）の形から191で割れると思って 12797を191で割ることを考えてみるのである。 ◎ 以上、一つ目の「垂心四面体ではなくて、かつ6辺の長さがみな異なり ４つの面がみな鋭角三角形の一般的と思える四面体ABCDの例」を造ってみた。そして その「外心Ｏ」の「ベクトルによる重心座標表現」と『外接球面」の半径R(3)を求めた。 ☆ ここで、「四面体ABCD」ができることを、「前の垂心四面体の例でもそうだった」が (６)で detJ(3)＞0を「最後に示して」、結論付けている。 次回は、この「例1」の「四面体ABCD」ができることを、detJ(3)を考えずに 「高校生の段階で分かる」ように、「図形的」または「幾何学的」な方法で証明してみよう。
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放物線をy軸のまわりに回転してできる曲面があり，y軸が水平面に垂直でy軸の正の部分が上方にあるように置いてある．その局面の中に半径rの球を落としこむ． このとき，この回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ． この図形のxy平面の断面は，中心がy軸の正の部分にある半径rの円と放物線が接している． x 0における接点をとおき，円の中心をBとおく． 点Aにおける放物線の接線の傾きは2aであり，この接線は円の接線でもあるのでABと垂直． 従って，Bの座標はとなる．よって，． 求める体積Vは，放物線の回転体のの部分の体積$$V_1$から，半径rの球を中心からの点を含む平面で切った場合の中心を含まない方の体積を引いたもの． 放物線の回転体を平面y=k(k≧0)で切った断面の面積はとなるので， ． また，半径rの球を中心からkの距離の平面 で切った断面の面積はなので ． 以上より ．
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